Lista de Exercícios sobre Logaritmos

Os logaritmos são uma das ferramentas matemáticas mais poderosas, sendo fundamentais para resolver equações exponenciais e modelar fenômenos de crescimento e decaimento. Este conceito, introduzido por John Napier no século XVII, revolucionou os cálculos matemáticos.

No ENEM e nos principais vestibulares, questões sobre logaritmos aparecem frequentemente, exigindo domínio das propriedades operatórias, mudança de base e resolução de equações logarítmicas. É um tema que conecta álgebra com funções exponenciais.

Nesta lista de exercícios, você praticará desde as propriedades básicas dos logaritmos até problemas mais complexos envolvendo equações e inequações logarítmicas.

Conceitos Fundamentais de Logaritmos

O logaritmo de um número é o expoente ao qual a base deve ser elevada para obter esse número. Matematicamente: se log_b(x) = y, então b^y = x. As bases mais utilizadas são 10 (logaritmo decimal) e e ≈ 2,718 (logaritmo natural ou neperiano).

As propriedades operatórias são essenciais: log(a·b) = log(a) + log(b), log(a/b) = log(a) – log(b), e log(a^n) = n·log(a). Estas propriedades permitem simplificar expressões e resolver equações de forma eficiente.

A mudança de base é outra ferramenta importante: log_a(x) = log_b(x)/log_b(a). Esta fórmula permite converter logaritmos entre diferentes bases, facilitando cálculos com calculadora.

Condições de existência devem ser sempre verificadas: o logaritmando deve ser positivo (x > 0), a base deve ser positiva e diferente de 1 (b > 0, b ≠ 1). Essas restrições são frequentemente cobradas em questões de vestibular.

Pratique com Nossa Lista de Exercícios

Agora que você revisou os principais conceitos, é hora de colocar seu conhecimento em prática! Resolva os exercícios abaixo para dominar logaritmos e se preparar para os vestibulares.

Exercício resolvido: equação logarítmica e domínio

Resolva, nos números reais, log₂(x) + log₂(x – 2) = 3.

1. Domínio: os dois argumentos devem ser positivos. Portanto, x > 0 e x – 2 > 0, o que exige x > 2.
2. Produto: como os logaritmos têm a mesma base, a soma é log₂[x(x – 2)].
3. Forma exponencial: x(x – 2) = 2³ = 8. Assim, x² – 2x – 8 = 0, ou (x – 4)(x + 2) = 0.
4. Seleção: as raízes algébricas são 4 e -2. Só x = 4 pertence ao domínio.

Conferindo: log₂(4) + log₂(2) = 2 + 1 = 3. Não basta resolver a equação polinomial: a restrição dos logaritmos elimina a outra raiz.

Para retomar a relação entre base e expoente, consulte função exponencial.