Funções do 1º e 2º grau no Enem

Preparar-se para o Exame Nacional do Ensino Médio (ENEM) requer um entendimento sólido das funções do 1º e 2º grau, especialmente para a prova de Matemática e suas Tecnologias. Este guia detalhado irá auxiliá-lo a dominar esses conceitos essenciais.

Compreendendo a Função do 1º Grau

Visão Geral e Fórmula

Conhecida como função linear, a função do 1º grau é descrita pela equação ($f(x) = ax + b$), com ($a$) e ($b$) representando constantes reais e ($a \neq 0$). Esta função produz um gráfico em linha reta.

Determinação da Raiz

A raiz, ou o valor de ($x$) que anula ($f(x)$), é obtida através de ($x = -\frac{b}{a}$).

Exploração da Função do 2º Grau

Formulação e Características

A função do 2º grau, ou função quadrática, é expressa como ($f(x) = ax^2 + bx + c$), onde ($a$), ($b$) e ($c$) são coeficientes, com ($a \neq 0$). Seu gráfico caracteriza-se por uma parábola.

Identificação de Raízes e Vértice

Utilizando a fórmula de Bhaskara, encontram-se as raízes da função. O vértice, indicando o máximo ou mínimo, é determinado por ($x_v = -\frac{b}{2a}$) e ($y_v = -\frac{\Delta}{4a}$), onde ($\Delta = b^2 – 4ac$).

Técnica para resolver equações de 2o grau mais rapidamente para o Enem – Soma e Produto

Para resolver equações do segundo grau de forma eficiente, as relações de soma e produto das raízes oferecem uma técnica rápida e direta. Essas relações, conhecidas como identidades de Viète, são particularmente úteis quando a equação está na forma padrão ($ax^2 + bx + c = 0$).

Técnica simples para encontrar raízes de 2o grau no Enem – Relações de Viète

As identidades de Viète para uma equação do segundo grau nos dizem que:

A soma das raízes ($x_1 + x_2$) é igual a ($-\frac{b}{a}$).
O produto das raízes ($x_1 \cdot x_2$) é igual a ($\frac{c}{a}$).

Aplicação Prática

Identificar Coeficientes: Primeiramente, determine os valores de ($a$), ($b$), e ($c$) na sua equação quadrática.
Calcular Soma e Produto: Em seguida, use as relações de Viète para calcular a soma e o produto das raízes como mencionado acima.
Encontrar as Raízes: Com esses valores, as raízes podem ser deduzidas. As raízes podem ser simplesmente determinadas ou você pode utilizar as equações resultantes para encontrar ($x_1$) e ($x_2$).

Exemplo de aplicação

Considere a equação quadrática ($x^2 – 5x + 6 = 0$).

Soma das Raízes: ($x_1 + x_2 = -\frac{-5}{1} = 5$)
Produto das Raízes: ($x_1 \cdot x_2 = \frac{6}{1} = 6$)

As raízes são determinadas configurando e resolvendo a equação baseada em soma e produto: ($x^2 – 5x + 6 = 0$) resulta em ($x_1 = 2$) e ($x_2 = 3$), que são encontradas através de fatoração.

Aplicações de Função do 1º e 2º no Contexto do ENEM

As funções do 1º e 2º grau são aplicáveis em uma gama de situações no ENEM, abrangendo tanto questões puramente matemáticas quanto cenários do mundo real. A função do 2º grau, por exemplo, pode modelar a trajetória de objetos sob a influência da gravidade, enquanto a função do 1º grau frequentemente descreve relações lineares entre variáveis como custo e produção.

Questões enem de Função do 1º e 2º grau resolvidas

Questão-01) (ENEM MEC)

Um lava-rápido oferece dois tipos de lavagem de veículos: lavagem simples, ao preço de R$ 20,00, e lavagem completa, ao preço de R$ 35,00. Para cobrir as despesas com produtos e funcionários, e não ter prejuízos, o lava-rápido deve ter uma receita diária de, pelo menos, R$ 300,00.

Para não ter prejuízo, o menor número de lavagens diárias que o lava-rápido deve efetuar é

a) 6.

b) 8.

c) 9.

d) 15.

e) 20.

Questão-02) (ENEM MEC)

O quadro representa a relação entre o preço de um produto (R) e seu respectivo imposto devido (l).

O gráfico que melhor representa essa relação é

Questão-03) (ENEM MEC)

A escala de temperatura Delisle (°D), inventada no século XVIII pelo astrônomo francês Joseph-Nicholas Delisle, a partir da construção de um termômetro, foi utilizada na Rússia no século XIX. A relação entre as temperaturas na escala Celsius (°C) e na escala Delisle está representada no gráfico pela reta que passa pelos pontos A e B.

Disponível em: www.profibus.com.br. Acesso em: 22 mar. 2013.

Qual é a relação algébrica entre as temperaturas nessas duas escalas?

a) 2D + C = 100

b) 2D + 3C = 150

c) 3D + 2C = 300

d) 2D + 3C = 300

e) 3D + 2C = 450

Questão-04) (ENEM MEC)

Uma fórmula para calcular o Índice de Massa Corporal (IMC) foi publicada pelo Departamento de Nutrição da Universidade de São Paulo. O estudo propõe uma equação capaz de identificar os falsos magros que, apesar de exibirem uma silhueta esguia, apresentam altos níveis de gordura, e os falsos gordos, que têm um IMC alto em decorrência de ganho de massa muscular, e não de gordura.

A equação considera a massa do indivíduo, além do peso e da estatura. A fórmula é expressa pela soma do triplo da massa (M), em quilograma, com o quádruplo do percentual de gordura (G), tudo dividido pela altura (H), em centímetro.

Disponível em: http://drauziovarella.com.br. Acesso em: 27 nov. 2012 (adaptado).

A expressão algébrica que representa a nova maneira de calcular o IMC é dada por

a) 3M + 4GH

b) 3M + 4GH

c) 13 . M + 14 . GH

d) 3 . M + 4GH

e) 4 . (3M + G)H

Questão-05) (ENEM MEC)

O rendimento de um carro bicombustível (abastecido com álcool ou gasolina), popularmente conhecido como carro flex, quando abastecido com álcool é menor do que quando abastecido com gasolina, conforme o gráfico, que apresenta o rendimento médio dos carros populares.

Suponha que um cidadão fez uma viagem, cujo percurso foi de 1 009 km, em um carro popular flex, tendo abastecido o carro nos primeiros 559 km com gasolina e, no restante do percurso, com álcool. Considere que no momento do abastecimento não havia mais combustível no tanque.

Qual o valor mais próximo do rendimento médio do carro ao concluir todo o percurso de 1 009 km?

a) 9,90 km/L

b) 10,43 km/L

c) 10,84 km/L

d) 11,00 km/L

e) 12,11 km/L

Questão-06) (ENEM MEC)

Em jogos de voleibol, um saque é invalidado se a bola atingir o teto do ginásio onde ocorre o jogo. Um jogador de uma equipe tem um saque que atinge uma grande altura. Seu recorde foi quando a batida do saque se iniciou a uma altura de 1,5 m do piso da quadra, e a trajetória da bola foi descrita pela parábola , em que y representa a altura da bola em relação ao eixo x (das abscissas) que está localizado a 1,5 m do piso da quadra, como representado na figura. Suponha que em todas as partidas algum saque desse jogador atinja a mesma altura do seu recorde.

A equipe desse jogador participou de um torneio de voleibol no qual jogou cinco partidas, cada uma delas em um ginásio diferente. As alturas dos tetos desses ginásios, em relação aos pisos das quadras, são:

ginásio I: 17 m;

ginásio II: 18 m;

ginásio III: 19 m;

ginásio IV: 21 m;

ginásio V: 40 m.

O saque desse atleta foi invalidado

a) apenas no ginásio I.

b) apenas nos ginásios I e II.

c) apenas nos ginásios I, II e III.

d) apenas nos ginásios I, II, III e IV.

e) em todos os ginásios.

Questão-07) (ENEM MEC)

Ao analisar os dados de uma epidemia em uma cidade, peritos obtiveram um modelo que avalia a quantidade de pessoas infectadas a cada mês, ao longo de um ano. O modelo é dado por p(t) = –t² + 10t + 24, sendo t um número natural, variando de 1 a 12, que representa os meses do ano, e p(t) a quantidade de pessoas infectadas no mês t do ano. Para tentar diminuir o número de infectados no próximo ano, a Secretaria Municipal de Saúde decidiu intensificar a propaganda oficial sobre os cuidados com a epidemia. Foram apresentadas cinco propostas (I, II, III, IV e V), com diferentes períodos de intensificação das propagandas:

I: 1 t 2;

II: 3 t 4;

III: 5 t 6;

IV: 7 t 9;

V: 10 t 12.

A sugestão dos peritos é que seja escolhida a proposta cujo período de intensificação da propaganda englobe o mês em que, segundo o modelo, há a maior quantidade de infectados. A sugestão foi aceita.

A proposta escolhida foi a

a) I.

b) II.

c) III.

d) IV.

e) V.

Questão-08) (ENEM MEC)

Um diretor esportivo organiza um campeonato no qual haverá disputa de times em turno e returno, isto é, cada time jogará duas vezes com todos os outros, totalizando 380 partidas a serem disputadas.

A quantidade de times (x) que faz parte desse campeonato pode ser calculada pela equação

a) x = 380 – x²

b) x² – x = 380

c) x² = 380

d) 2x – x = 380

e) 2x = 380

Questão-09) (ENEM MEC)

Em um ano, uma prefeitura apresentou o relatório de gastos públicos realizados pelo município. O documento mostra que foram gastos 72 mil reais no mês de janeiro (mês 1), que o maior gasto mensal ocorreu no mês de agosto (mês 8) e que a prefeitura gastou 105 mil reais no mês de dezembro (mês 12). A curva que modela esses gastos é a parábola y = T(x), com x sendo o número correspondente ao mês e T(x), em milhar de real.

A expressão da função cujo gráfico é o da parábola descrita é

a) T(x) = –x² + 16x + 57

b) T(x) = – 1116 x²+ 11x + 72

c) T(x) = 35 x²– 245x + 3815

d) T(x) = –x² – 16x + 87

e) T(x) = 1116 x²– 112x + 72

Questão-10) (ENEM MEC)

Uma empresa de chocolates consultou o gerente de produção e verificou que existem cinco tipos diferentes de barras de chocolate que podem ser produzidas, com os seguintes preços no mercado:

Barra I: R$ 2,00;

Barra II: R$ 3,50;

Barra III: R$ 4,00;

Barra IV: R$ 7,00;

Barra V: R$ 8,00.

Analisando as tendências do mercado, que incluem a quantidade vendida e a procura pelos consumidores, o gerente de vendas da empresa verificou que o lucro L com a venda de barras de chocolate é expresso pela função

L(x) = –x² + 14x – 45, em que x representa o preço da barra de chocolate.

A empresa decide investir na fabricação da barra de chocolate cujo preço praticado no mercado renderá o maior lucro.

Nessas condições, a empresa deverá investir na produção da barra

a) I.

b) II.

c) III.

d) IV.

e) V.

GABARITO:

1) Gab: C

Para ter uma receita diária de, pelo menos, R$300,00 e não ter prejuízo, devemos considerar apenas as lavagens completas (de R$35,00) pois são as que custam mais. Logo, sendo n o número de lavagens, temos que:

n ∙ 35 ≥ 300

n ≥ 300/35

n ≥ 8,57

Como a quantidade de lavagens precisa ser um número inteiro, o gabarito é a letra c (9 lavagens)

2) Gab: A

Baseado no quadro dado, temos que o imposto (I) está em função do preço (R)

O gráfico que representa a função dada é o gráfico da alternativa A

3) Gab: D

Nesta questão, nosso objetivo é obter a equação da reta que passa pelos pontos A e B. Repare que o ponto A é o ponto de interceptação do eixo y (nesta questão é o eixo D) e o ponto B é o ponto de interceptação do eixo x (nesta questão é o eixo C).

Podemos encontrar a equação desta reta usando a equação segmentária da reta.

Para aplicarmos a equação segmentária da reta a esta questão do ENEM, temos que substituir o x por C e o y por D. Além disso, o valor de R = 150 e o valor de S = 100.

C + D = 1

100 150

Para simplificar, podemos multiplicar os dois lados da equação por 300.

300 C + 300 D = 300 . 1

100 150

3C + 2D = 300

Alternativa correta é a letra d).

4) Gab: B

A expressão algébrica que se representa a nova maneira de calcular o IMC é dada por:

Logo, queremos saber qual das expressões representa corretamente a nova equação de IMC, onde as informações foram dadas no enunciado.

Segundo o enunciado temos que:

Soma do triplo da massa (M)
com o quádruplo do percentual de gordura (G)
Tudo dividido pela altura H

Logo, sabemos que o triplo da massa será:

O quádruplo do percentual de gordura será:

Tudo isso será somado:

3M+4G

E depois tudo isso será dividido pela altura H:

3M + 4GH

Logo a alternativa que trás esta expressão é a alternativa B

5) Gab: C

Analisando o gráfico, podemos identificar que o rendimento do carro com gasolina é de 13 km/L e de 9 km/L com álcool. Vamos usar essa informação nos cálculos.

O motorista percorreu 1009 km, sendo 559 km com gasolina e os outros (1009-559) = 450 km com álcool.

Quantos litros de gasolina ele gastou no primeiro trecho?

Basta dividir 559 / 13 = 43 L de gasolina.

Quantos litros de álcool ele gastou no segundo trecho?

Basta dividir 450 / 9 = 50 L de álcool.

Sabemos então, que no total, o carro consumiu 43 + 50 = 93 L de combustível.

Finalmente, para calcular o rendimento médio do carro neste percurso de 1 009 km, basta dividir

1009 / 93 ≅ 10,84 km/L

Alternativa correta é a letra c).

6) Gab: D

7) Gab: C

Para calcular o mês com a maior quantidade de infectados, temos que calcular

Ou seja, ocorre no mês de maio, incluso na margem da propaganda III.

8) Gab: B

Para ilustrarmos a resolução dessa questão, vamos trazer o conceito de “rodada”. Uma rodada geralmente é um final de semana em que todos os times se enfrentam. Sendo que não precisam jogar necessariamente no mesmo dia.

Ilustrando: suponha que o campeonato seja como a Série A do Brasileirão, com 20 times. A cada rodada acontecem 20/2 = 10 partidas.

Ex: Flamengo x Corinthians ; São Paulo x Fortaleza; Atlético MG x Botafogo, Internacional x Palmeiras ….. Repare que 20 times proporcionam uma rodada com 20/2 = 10 jogos. Ou seja, a quantidade de partidas em cada rodada é igual a metade do número de times.

Vamos agora resolver a questão do ENEM.

Quantas partidas nós temos a cada rodada? Se a quantidade de times é igual a x, então quer dizer que teremos (x/2) partidas a cada rodada.

Quantas rodadas nós temos dentro de um turno? Temos (x-1) rodadas.

Ilustrando: continuando no exemplo da Série A do Brasileirão, com 20 times. Cada turno será composto por 19 rodadas, uma vez que cada time, tem que encarar os outros (20-1) = 19 times.

Quantos turnos nós temos nesse campeonato? O enunciado diz que são 2 turnos (turno e returno). Ou seja, cada time vai jogar em casa e depois na casa do adversário.

Finalmente, o enunciado nos informa que o total de jogos desse campeonato é igual a 380, então basta igualar este valor ao produto: (Nº de Turnos) x (Rodadas por Turno) x (Partidas por Rodadas)

2 . (x-1) . (x/2) = 380

(x-1) . (x) = 380

x² – x = 380

Alternativa correta é a letra b).

9) Gab: A

Temos vários caminhos diferentes para resolver essa questão. Vamos adotar o seguinte, sejam:

T(1) = 72

T(8) = abscissa do vértice da parábola. De acordo com o enunciado, é um ponto de máximo.

T(12) = 105

Perceba que o gráfico da parábola tem que crescer de X=1 até X=8 e depois decrescer até X=12. Logo, a parábola deverá ter coeficiente “a” negativo e com isso já eliminamos as alternativas (c) e (e).

Veja um esboço do gráfico da parábola.

Podemos testar dentre as 3 opções de resposta que não foram eliminadas, se elas satisfazem a condição: T(1) = 72.

a) T(1) = -x² + 16x +57 = -1² + 16.1 + 57 = 72 (satisfaz)

b) T(1) = -(11/16)x² + 11x + 72 = -(11/16).1² + 11.1 + 72 (é diferente de 72)

d) T(1) = – x² – 16x + 87 = -1² – 16.1 + 87 (é diferente de 72)

Aplicando o teste, identificamos que apenas a opção (a) satisfaz. Entretanto, antes de marcarmos a letra (a), vamos nos certificar de que as demais condições também são satisfeitas em (a).

Segunda condição: Xv = 8.

Xv = -b/2a = -16/2(-1) = -16/-2 = 8 (satisfaz)

Terceira condição: T(12) = 105.

a) T(12) = -(12²) + 16.12 +57 = -144 + 192 + 57 = 105 (satisfaz)

A curva que modela os gastos informados no enunciado é a da alternativa (a).

10) Gab: D

Perceba que a função lucro é uma parábola com coeficiente “a” negativo, logo com concavidade voltada para baixo (formato de ∩), o que implica ter um ponto de máximo. Este ponto de máximo é o vértice da parábola, que possui coordenadas:

Xv = -b/2a

Yv = -Δ/4a ; Δ = b² – 4ac

Nesta questão, o que nos interessa é o Xv.

Xv = -14/2(-1) = -14/-2

Xv = 7

Investir na produção da Barra IV que custa R$ 7,00 trará o lucro máximo.